Question

（本题满分15分）已知的三个顶点在抛物线上，是抛物线的焦点，且,．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若直线与上述抛物线相交于点，直线过点且与处的切线垂直． 求证：直线关于直线的对称直线经过定点．

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）（Ⅱ）关于的对称直线经过定点

【解析】本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线、向量、相切、对称等，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.

（1）由抛物线的定义得到关于p的关系式得到p的值，从而得到抛物线的方程。

（2）设点p， 过的抛物线的切线的斜率为表出切线方程，然后利用斜率设的倾斜角为可得关于的对称直线的倾斜角为

得到过定点的求证。

（Ⅰ）解：由已知，

抛物线的方程是

（Ⅱ）解：

过的抛物线的切线的斜率为

的方程为

设的倾斜角为可得关于的对称直线的倾斜角为

又

的方程为

即过定点

关于的对称直线经过定点