Question

如图所示，在底面边长为2a的正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，高为a,E、F分别是侧棱BB₁和CC₁上的点，且BE=BB₁，CF=CC₁.

(1)求点A到侧面BB₁C₁C的距离；

(2)求截面AEF与底面ABC所成二面角的大小；

(3)求EF与AC所成角的余弦值.

Answer 1

解:(1)作AG⊥BC于G点，

∵BB₁⊥平面ABC,

∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C，AG⊥平面B₁C₁CB.

∴AG为A到侧面的距离，G在BC上.

又∵△ABC是边长为2a的正三角形，

∴G为BC的中点，AG=a,即点A到侧面BB₁C₁C的距离为a.

(2)延长FE交CB的延长线于H点，连结AH，则AH=面AEF∩面ABC.

∵BE∥CF，BE=C₁F=CF,

∴CB=BH=AB=2a,

∠CAH=90°.

又∵CC₁⊥平面ABC,

∴FA⊥AH,∠FAC为所求二面角的平面角.

在Rt△FCA中，tan∠FAC=.

∴∠FAC=30°,即截面AEF与底面ABC成30°角.

(3)过F作FI∥AC交AA₁于I点，连结IE，则∠IFE为异面直线EF与AC所成的角(或补角).

IF=2a,FE=a=IE.

∴cos∠IFE=.