Question

如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F₁PQ的面积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设知：2a=4，即a=2，将点代入椭圆方程得 ，解得b²=3，由此能得到椭圆方程．
（Ⅱ）由，知，所以PQ所在直线方程为，由得 ，设P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），由韦达定理能导出，由此能求出△F₁PQ的面积．
解答：解：（Ⅰ）由题设知：2a=4，即a=2
将点代入椭圆方程得 ，解得b²=3
∴c²=a²-b²=4-3=1，故椭圆方程为--------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，
∴PQ所在直线方程为---------------（5分）
由得 ---------------------------------（7分）
设P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），则--------（8分）
∴--------------------------（9分）
∴．-------------------------（10分）
点评：本题考查椭圆C的方程和求△F₁PQ的面积．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．