Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，AB=SA=1，AD=2，且P为BC的中点．
（1）求异面直线AP与平面SPD所成角的正弦值；
（2）求二面角C-SD-P的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以AB，AD，AS所在直线为坐标原点建立坐标系，直线AP与平面SPD所成角通过面

AP

与面SPD的法向量的夹角间接求解
（2）分别求出平面SCD，平面PSD的一个法向量，利用两法向量夹与二面角的关系求解．

解答：解：因为SA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，所以AB，AD，AS两两垂直，
以AB，AD，AS所在直线为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则各点坐标如下：
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），S（0，0，1），P（1，1，0）
（1）

AP

=(1，1，0)，

PD

=(-1，1，0)，

SD

=(0，2，-1)
设平面SPD的一个法向量为

n1

=(1，y，z)，
由

n1

•

PD

=0，  

n1

•

SD

=0可得y=1，z=2，
平面SPD的一个法向量为

n1

=(1，1，2)
所以cos＜

n1

，

AP

＞=

(1，1，2)•(1，1，0)

12+12+22 • 12+12+02

=

3

3

则直线AP与平面SPD所成角的正弦值等于cos＜

n1

，

AP

＞为

3

3

（2）

DC

=(1，0，0)，

SD

=(0，2，-1)，
设平面SCD的一个法向量为

n2

=(x，y，2)，
由

n2

•

DC

=0，  

n2

•

SD

=0可得x=0，y=1，
平面SCD的一个法向量为

n2

=(0，1，2)，
由（1）可知，平面SPD的一个法向量为

n1

=(1，1，2)，
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

(1，1，2)•(0，1，2)

12+12+22 • 02+12+22

=

30

6

，
由图可知，二面角C-SD-P为锐二面角，因此二面角C-SD-P的余弦值为

30

6

．

点评：本题考查空间角的计算，利用向量的方法减少了思维量，使问题变得容易解决．