Question

【题目】某社区名居民参加年国庆活动，他们的年龄在岁至岁之间，将年龄按、、、、分组，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求的值，并求该社区参加年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；

（2）现从年龄在、的人员中按分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，用表示参与座谈的居民的年龄在的人数，求的分布列和数学期望；

（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地岁至岁之间的市民中抽取名进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为，当最大时，求的值.

Answer 1

【答案】（1），平均年龄；（2）分布列见解析，；（3）.

【解析】

（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为，求出的值，再将所有矩形底边中点值乘以矩形面积，再将所得的数相加即可得出该社区年国庆活动的居民的平均年龄；

（2）先根据分层抽样得知，所抽取的人中，年龄在的抽取人、年龄在的抽取人，可得出随机变量的可能取值为、、，并利用古典概型的概率公式计算出随机变量分别取、、时的概率，列出随机变量的分布列，并利用数学期望公式计算出随机变量的数学期望；

（3）设年龄在的人数为，可知，利用独立重复试验的概率公式得出，分析出数列的单调性，可求出的最大值及对应的的值.

（1）由频率分布直方图知，解得，

所以该社区参加年国庆活动的居民的平均年龄为

；

（2）年龄在的人数为，年龄在的人数为.

根据分层抽样，可知年龄在的抽取人、年龄在的抽取人.

所以的可能取值为0，1，2，且，，，

所以的分布列为

所以；

（3）由题可知年龄在内的频率为.

设年龄在的人数为，所以.

.

设，

由得，此时；由得，此时.

所以当时，最大.