Question

已知函数f（x）=|x-3|+|x-4|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜2a的解集不是空集，求a的取值范围．

Answer 1

分析：将函数化简f（x）=|x-3|+|x-4|=

2x-7，x≥4 1，3＜x＜4 7-2x，x≤3

（Ⅰ）不等式f（x）＜2等价于

x≥4 2x-7＜2

或

3＜x＜4 1＜2

或

x≤3 7-2x＜2

，由此可解不等式；
（Ⅱ）先确定f（x）_min=1，根据不等式f（x）＜2a的解集不是空集，即可确定a的取值范围．

解答：解：由题意，f（x）=|x-3|+|x-4|=

2x-7，x≥4 1，3＜x＜4 7-2x，x≤3

（Ⅰ）不等式f（x）＜2等价于

x≥4 2x-7＜2

或

3＜x＜4 1＜2

或

x≤3 7-2x＜2

，∴2.5＜x＜4.5；
（Ⅱ）∵f（x）=|x-3|+|x-4|=

2x-7，x≥4 1，3＜x＜4 7-2x，x≤3

∴f（x）_min=1
∵不等式f（x）＜2a的解集不是空集，
∴1＜2a
∴a＞

1

2

∴a的取值范围为(

1

2

，+∞)．

点评：本题考查绝对值函数，考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，将函数正确化简是关键．