Question

如图，某小区进行绿化改造．计划围出一块三角形绿地ABC．其中一边利用现成的围墙BC．长度为1（百米）．另外两边AB，AC使用某种新型材料．∠BAC=120°设AB=x（百米），AC=y（百米）
（1）求x，y满足的关系式（指出x的取值范围）
（2）若无论如何设计另两边的长，都能确保围成三角形绿地，则至少需要准备长度为多少（百米）的此种新型材料．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理，可求x，y满足的关系式，及x的取值范围；
（2）利用（1）的结论及基本不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）由余弦定理可得，1=x²+y²-2xycos120°，∴x²+y²+xy=1，其中0＜x＜1；
（2）∵（x+y）²=x²+y²+2xy=1+xy≤1+

(x+y)2

4

∴（x+y）²≤

4

3

∴x+y≤

2 3

3

，当且仅当x=y=

3

3

时，取等号
∴至少需要准备长度为

2 3

3

百米的此种新型材料．

点评：本题考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．