题目内容
已知sinα+cosα=
，α∈（0，
），sin（β-
）=
，β∈（
，
）．
（1）求sin2α和tan2α的值；
（2）求cos（α+2β）的值．
3
| ||
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（1）求sin2α和tan2α的值；
（2）求cos（α+2β）的值．
（1）由题意得（sinα+cosα）2=
，
即1+sin2α=
，∴sin2α=
．
又2α∈（0，
），∴cos2α=
=
，∴tan2α=
=
．
（2）∵β∈（
，
），β-
∈（0，
），∴cos（β-
）=
，
于是sin2（β-
）=2sin（β-
）cos（β-
）=
．
又sin2（β-
）=-cos2β，∴cos2β=-
．
又2β∈（
，π），∴sin2β=
．
又cos2α=
=
，
∴cosα=
，sinα=
（α∈（0，
））．
∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β
=
×（-
）-
×
=-
．
| 9 |
| 5 |
即1+sin2α=
| 9 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
又2α∈（0，
| π |
| 2 |
| 1-sin22α |
| 3 |
| 5 |
| sin2α |
| cos2α |
| 4 |
| 3 |
（2）∵β∈（
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
于是sin2（β-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 24 |
| 25 |
又sin2（β-
| π |
| 4 |
| 24 |
| 25 |
又2β∈（
| π |
| 2 |
| 7 |
| 25 |
又cos2α=
| 1+cos2α |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
∴cosα=
| 2 | ||
|
| 1 | ||
|
| π |
| 4 |
∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β
=
2
| ||
| 5 |
| 24 |
| 25 |
| ||
| 5 |
| 7 |
| 25 |
11
| ||
| 25 |
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