题目内容
已知椭圆
=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b-c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于
（a-c）．（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a-c；
（2）求椭圆的离心率e的取值范围；
（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．
【答案】分析：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x，y），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离
（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据
≥
（a-c）求得e的范围．
（3）设直线的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知
=0，∴k=a，直线的方程为ax-y-a=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案．
解答：
解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x，y），
Q点到右准线的距离为d=
-x，
则由椭圆的第二定义知：
=
，
∴|QF2|=a-
，又-a≤x≤a，
∴当x=a时，
∴|QF2|min=a-c．
（2）依题意设切线长|PT|=
∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，
∴
≥
（a-c），
∴0＜
≤
，从而解得
≤e＜
，
故离心率e的取值范围是解得
≤e＜
，
（3）依题意Q点的坐标为（1，0），
则直线的方程为y=k（x-1），
与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0
得，
设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=
，x1x2=
，
代入直线方程得y1y2=
，
x1x2=+y1y2=
，又OA⊥OB，
∴
=0，
∴k=a，
直线的方程为ax-y-a=0，
圆心F2（c，0）到直线l的距离d=
，
∴
≤e＜
•，∴
≤c＜1，
2c+1＜3，
∴s∈（0，
），所以弦长s的最大值为
．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据
≥（a-c）求得e的范围．（3）设直线的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知
=0，∴k=a，直线的方程为ax-y-a=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案．解答：
解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x，y），Q点到右准线的距离为d=
-x，则由椭圆的第二定义知：
=，∴|QF2|=a-
，又-a≤x≤a，∴当x=a时，
∴|QF2|min=a-c．
（2）依题意设切线长|PT|=
∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，
∴
≥（a-c），∴0＜
≤，从而解得≤e＜，故离心率e的取值范围是解得
≤e＜，（3）依题意Q点的坐标为（1，0），
则直线的方程为y=k（x-1），
与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0
得，
设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=
，x1x2=，代入直线方程得y1y2=
，x1x2=+y1y2=
，又OA⊥OB，∴
=0，∴k=a，
直线的方程为ax-y-a=0，
圆心F2（c，0）到直线l的距离d=
，∴
≤e＜•，∴≤c＜1，2c+1＜3，∴s∈（0，
），所以弦长s的最大值为．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
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=1（a＞b＞0）的离心率为
，
,则椭圆方程为（ ）
=1
=1
=1
=1
+
=1（a＞b＞0）的中心为O，右焦点为F、右顶点为A，右准线与x轴的交点为H，则
的最大值为 ．
+
=1（a＞b＞0）的中心为O，右焦点为F、右顶点为A，右准线与x轴的交点为H，则
的最大值为 ．
=1（a＞b＞0）过点（1，
），离心率为
=2；
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若
(应为PB)，则离心率为
B、
C、
D、