Question

函数f（a）=（3m-1）a+b-2m，当m∈[0，1]时，0≤f（a）≤1恒成立，则

9a2+b2

ab

的最大值与最小值之和为（　　）

• A、18
• B、16
• C、14
• D、

  49

  4

Answer 1

分析：由条件求得a≤b≤1+a ①，2≤2a+b≤3  ②，把（a，b）看作点画出可行域，由斜率模型可得1≤

b

a

≤4，令

b

a

=x，
则1≤x≤3，由y=

9

x

+x 在[1，3]上单调递减，故x=1时，y有最大值为10，x=3时，y有最小值为 6，从而求得最大值与最小值的和．

解答：解：令g（m）=（3a-2）m+b-a． 由题意当m∈[0，1]时，0≤f（a）≤1可得，

0≤g(0)≤1 0≤g(1)≤1

，
∴0≤b-a≤1，0≤2a+b-2≤1．  即 a≤b≤1+a ①，2≤2a+b≤3  ②．
把（a，b）看作点画出可行域，由斜率模型可得  1≤

b

a

≤4．
又

9a2+b2

ab

=

b

a

+

9a

b

，令

b

a

=x，则 1≤x≤3，∵y=

9

x

+x 在[1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，
∴x=3时，y有最小值为 6，而 x=1时，y=10；x=4时，y=6.25．
故当 x=1时，y 有最大值是10． 故最大值与最小值的和为16．
故选：B．

点评：本题考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，求出

9a2+b2

ab

的最大值和最小值是解题的难点．