Question

已知函数f（x）=

1

2

x⁴-2x³+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、m≥

  3

  2

• B、m＞

  3

  2

• C、m≤

  3

  2

• D、m＜

  3

  2

Answer 1

分析：要找m的取值使f（x）+9≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f（x）的最小值，使最小值大于等于-9即可求出m的取值范围．

解答：解：因为函数f（x）=

1

2

x⁴-2x³+3m，所以f′（x）=2x³-6x²．
令f′（x）=0得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（3）=3m-

27

2

．
不等式f（x）+9≥0恒成立，即f（x）≥-9恒成立，
所以3m-

27

2

≥-9，解得m≥

3

2

．
故答案选A．

点评：考查学生找函数恒成立问题时的条件的能力．