题目内容

对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．
（Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
（Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an}的前n项和Sn构成的数列{Sn}是有界数列？若存在，求数列{an}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）判断数列an=
1
3
+
1
5
+
1
7
+…+
1
2n-1
(n≥2)是否为有界数列，并证明．
（Ⅰ）1≤an=2+sinn≤3，
故{an}为有界数列…（2分）
（Ⅱ）设公比为q，当0＜q＜1时，Sn=
a1(1-qn)
1-q
＜
a1
1-q
，
则正数数列{Sn}满足|Sn|＜
a1
1-q
，即为有界数列；
当q=1时，Sn=na1→+∞，故为无界数列；
当q＞1时，Sn=a1+a2+…+an＞na1→+∞，此时为无界数列．
综上：当且仅当0＜q＜1时，{Sn}为有界数列…（6分）．
（Ⅲ）{an}为无界数列，事实上an=
1
3
+
1
5
+
1
7
+…+
1
2n-1
＞
1
4
+
1
6
+
1
8
+…+
1
2n

∴2an＞
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+…+
1
2n-1
+
1
2n

∴2a2n＞
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+…+
1
2•2n
=(
1
3
+
1
4
)+(
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
)+(
1
9
+…+
1
16
)+…+(
1
2n+1
+
1
2n+2
+…+
1
2n+2n
)＞
1
4
×2+
1
8
×4+
1
16
×8+…+
1
2n×2
×2n=
n
2

∴a2n＞
n
4

故当n无限增大时an也无限增大，
所以{an}无界…（12分）．
练习册系列答案
相关题目
对于数列{an}，若满足a1，
a2
a1
，
a3
a2
，…，
an
an-1
，…是首项为1，公比为2的等比数列，则a100等于（　　）
A、2100
B、299
C、25050
D、24950
定义在R上的函数f（x）满足f（x）=
log2(1-x)，x≤0
f(x-1)-f(x-2)，x＞0

（1）计算：f（-1）、f（0）、f（1）、f（2），并求出f（n+3）与f（n），n∈N*满足的关系式；
（2）对于数列{an}，若存在正整数T，使得an+T=an，则称数列{an}为周期数列，T为数列的周期，令an=f(n) ， n∈N*，证明：{an}为周期数列，指出它的周期T，并求a2012的值．
（2010•重庆一模）对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．
（Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
（Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an}的前n项和Sn构成的数列{Sn}是有界数列？若存在，求数列{an}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）判断数列an=
1
3
+
1
5
+
1
7
+…+
1
2n-1
(n≥2)是否为有界数列，并证明．
对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：an+T=an成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．
（1）记Sn=a1+a2+a3+…+an，若{an}满足an+2=an+1-an，且S2=1007，S3=2010，求证：数列{an}是以6为周期的周期数列，并求S2009；
（2）若{an}满足a1=p∈[0， 
1
2
)，且an+1=-2an2+2an，试判断{an}是否为周期数列，且说明理由；
（3）由（1）得数列{an}，又设数列{bn}，其中bn=an+2n+
2009
2n
，问是否存在最小的自然数n（n∈N*），使得对一切自然数m≥n，都有bm＞2009？请说明理由．
（1）对于数列{an}，若存在常数T≥0，使得对于任意n∈N*，均有|an|≤T，则称{an}为有界数列．以下数列{an}为有界数列的是
 
；（写出满足条件的所有序号）
①an=n-2②an=
1
n+2
③
an
an+1
=2，a1=1
（2）数列{an}为有界数列，且满足an+1=-an2+2an，a1=t（t＞0），则实数t的取值范围为
 
．

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