Question

已知函数
（1）若的极值点，求实数a的值；
（2）若上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当有实根，求实数b的最大值。

Answer 1

解：（1）……1分
因为为的极值点，所以
即，解得，又当时，，从而为的极值点成立。…………2分
（2）因为在区间上为增函数，所以在区间上恒成立。…………3分
①当时，在区间上恒成立，在区间上为增函数，符合题意。…………4分
②当时，由函数的定义域可知，必有对成立，
故只能…………5分
故对恒成立
令，其对称轴为
从而要使对恒成立，只要即可…………6分
  解得：
，故
综上所述，实数的取值范围为…………7分
（3）若时，方程可化为，．
问题转化为在上有解，
即求函数的值域．………………………………8分
以下给出两种求函数值域的方法：
解法一：，令
则…………9分
所以当时，，从而在上为增函数
当时，，从而上为减函数
因此…………10分
而，故…………11分
因此当时，取得最大值………12分
解法二：因为，所以
设，则………9分
当时，，所以在上单调递增
当时，，所以在上单调递减
因为，故必有，又…10分
因此必存在实数使得
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增
当时，，所以在上单调递减………11分
又因为
当时，，则，又
因此当时，取得最大值

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。主要是极值的概念和根据单调区间，求解参数的取值范围，以及利用函数与方程的思想求解参数b的最值。