Question

如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°.?

(1)求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示)；?

(2)证明BC⊥平面SAB；?

(3)用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小.(本小问不必写出解答过程)

Answer 1

(1)解析：连结BE，延长BC、ED交于点F，则∠DCF=∠CDF=60°，∴△CDF为正三角形.∴CF=DF.

又BC=DE，∴BF=EF.?

因此，△BFE为正三角形.?

∴∠FBE=∠FCD=60°.?

∴BE∥CD.?

所以∠SBE(或其补角)就是异面直线CD与SB所成的角.?

∵SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，∴SB=2.?

同理SE=2.?

又∠BAE=120°，所以BE=2.?

从而cos∠SBE=,?

∴∠SBE=arccos.?

所以异面直线CD与SB所成的角是arccos.?

(2)证明：由题意，△ABE为等腰三角形，∠BAE=120°,?

∴∠ABE=30°.?

又∠FBE=60°，?

∴∠ABC=90°.?

∴BC⊥BA.?

∵SA⊥底面ABCDE，BC底面ABCDE ，∴SA⊥BC.?

又SA∩BA=A,∴BC⊥平面SAB.?

(3)解析：二面角BSCD的大小为π-arccos.