Question

斜三棱柱ABC-A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求此三棱柱的侧面积和体积．

Answer 1

分析：（1）先判断斜三棱柱ABC-A′B′C′的三个侧面的形状，分别求出面积再相加，即为斜三棱柱的侧面积．
（2）斜三棱柱的体积等于底面积乘高，因为底面三角形是边长为a的正三角形，面积易求，所以只需求出高即可，利用所给线线角的大小即可求出．

解答：解：（1）∵侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，
∴三棱柱的三个侧面中，四边形ABBA和ACCA是有一个角是45°，相邻两边长分别为a，b的平行四边形，第三个侧面是边长分别为a，b的矩形．
∴s侧=2absib45°+ab=(

2

+1)ab
（2）过A₁作A1O垂直于底面ABC，交底面ABC于O点，作A₁D⊥AB，交AB于D点，连接DO，由题意，则
AD=

2 b

2

，A₁D=

2 b

2

，∴AO=

6 b

3

，A₁O=

3 b

3

∴V=

1

2

×

3 a

2

a

3 b

3

=

1

4

a2b

点评：本题主要考查了斜三棱柱的侧面积与体积的求法，属于立体几何的基础题．