题目内容
已知斜三棱柱ABC-A′B′C′，设
=
，
=
，
=
，在面对角线AC′和棱BC上分别取点M、N，使
=k
，
=k
（0≤k≤1），求证：三向量
、
、
共面．
| AB |
| a |
| AC |
| b |
| AA′ |
| c |
| AM |
| AC′ |
| BN |
| BC |
| MN |
| a |
| c |
分析：利用向量的线性运算即可得出．
解答：解：如图所示：
∵
=
+
=
+k
=
+k（
-
）
=
+k(
-
)
=(1-k)
+k
．
=k
=k（
+
）=k
+k
，
∴
=
-
=(1-k)
-k
．
又∵向量
和
不共线，∴
、
、
共面．
∵
| AN |
| AB |
| BN |
| AB |
| BC |
=
| AB |
| AC |
| AB |
=
| a |
| b |
| a |
=(1-k)
| a |
| b |
| AM |
| AC′ |
| AA′ |
| AC |
| b |
| c |
∴
| MN |
| AN |
| AM |
| a |
| c |
又∵向量
| a |
| c |
| MN |
| a |
| c |
点评：熟练掌握向量的线性运算是解题的关键．
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