Question

（2013•辽宁）（1）证明：当x∈[0，1]时，

2

2

x≤sinx≤x；
（2）若不等式ax+x2+

x3

2

+2(x+2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）记F（x）=sinx-

2

2

x，可求得F′（x）=cosx-

2

2

，分x∈（0，

π

4

）与x∈（

π

4

，1）两类讨论，可证得当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥

2

2

x；记H（x）=sinx-x，同理可证当x∈（0，1）时，sinx≤x，二者结合即可证得结论；
（2）利用（1），可求得当x∈[0，1]时，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4≤（a+2）x，分a≤-2与a＞-2讨论即可求得实数a的取值范围．

解答：（1）证明：记F（x）=sinx-

2

2

x，则F′（x）=cosx-

2

2

．
当x∈（0，

π

4

）时，F′（x）＞0，F（x）在[0，

π

4

]上是增函数；
当x∈（

π

4

，1）时，F′（x）＜0，F（x）在[

π

4

，1]上是减函数；
又F（0）=0，F（1）＞0，所以当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥

2

2

x…3
记H（x）=sinx-x，则当x∈（0，1）时，H′（x）=cosx-1＜0，所以H（x）在[0，1]上是减函数；则H（x）≤H（0）=0，
即sinx≤x．
综上，

2

2

x≤sinx≤x…5
（2）∵当x∈[0，1]时，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4
=（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）sin2

x

2

≤（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）(

2

4

x)2
=（a+2）x，
∴当a≤-2时，不等式ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，…9
下面证明，当a＞-2时，不等式ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
∵当x∈[0，1]时，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4
=（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）sin2

x

2

≥（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）(

x

2

)2
=（a+2）x-x²-

x3

2

≥（a+2）x-

3

2

x²
=-

3

2

x[x-

2

3

（a+2）]．
所以存在x₀∈（0，1）（例如x₀取

a+2

3

和

1

2

中的较小值）满足
ax₀+x02+

x03

2

+2（x₀+2）cosx₀-4＞0，
即当a＞-2时，不等式ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
综上，实数a的取值范围是（-∞，-2]．

点评：本题考查不等式的证明，突出考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于难题．