Question

已知函数f(x)＝x2－x＋t，t≥0，g(x)＝lnx．

（1）令h(x)＝f(x)＋g(x)，求证：h(x)是增函数；

（2）直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切．对于确定的正实数t，讨论直线l的条数，并说明理由．

Answer 1

解：（1）由h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2－x＋t＋lnx，得h' (x)＝2x－1＋，x＞0．

因为2x＋≥2＝2，所以h' (x)＞0，

从而函数h(x)是增函数．                      

（2）记直线l分别切f(x)，g(x)的图象于点(x1，x12－x1＋t)，(x2，lnx2)，

由f'(x)＝2x－1，得l的方程为y－(x12－x1＋t)＝(2x1－1)(x－x1)，即y＝(2x1－1)x－x12＋t．

由g'(x)＝，得l的方程为y－lnx2＝(x－x2)，即y＝· x＋lnx2－1．

x＞0．

由F'(x)＝0，解得x＝1．

当0＜x＜1时，F'(x)＜0，当x＞1时，F'(x)＞0，

所以F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

从而F(x)min＝F(1)＝－t．                        

当t＝0时，方程(**)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解，

即存在唯一一条满足题意的直线；              

当t＞0时，F(1)＜0，由于F(et＋1)＞ln(et＋1)－(t＋1)＝0，

故方程(**)在(1，＋∞)上存在唯一解；            

令k(x)＝lnx＋－1(x≤1)，由于k' (x)＝－＝≤0，故k (x)在(0，1]上单调递减，

故方程(**)在(0，1)上存在唯一解．

所以当t＞0时，方程(**)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解．

即存在两条满足题意的直线．

综上，当t＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；

当t＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．