题目内容
5．某中学篮球队进行了4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加；若王浩同学在4次测试中每次合格的概率组成一个公差为$\frac{1}{5}$的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过$\frac{1}{2}$，且他直到第二次测试才合格的概率为$\frac{8}{25}$；（1）求王浩同学第一次参加测试就合格的概率；
（2）求王浩同学参加测试的次数X的分布列和数学期望．
分析 （1）设王浩同学四次测试合格的概率依次为$a，a+\frac{1}{5}，a+2×\frac{1}{5}，a+3×\frac{1}{5}（a≤\frac{1}{2}）$，由题设得到25a2-20a+3=0，由此能求出王浩同学第一次参加测试就合格的概率．
（2）由题设知，X取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
解答 （本小题满分12分）
解：（1）设王浩同学四次测试合格的概率依次为：
$a，a+\frac{1}{5}，a+2×\frac{1}{5}，a+3×\frac{1}{5}（a≤\frac{1}{2}）$，…（2分）
由题设知，$（1-a）（a+\frac{1}{5}）=\frac{8}{25}$，即25a2-20a+3=0，
解得，$a=\frac{1}{5}或a=\frac{3}{5}＞\frac{1}{2}$（舍去），
故王浩同学第一次参加测试就合格的概率为$\frac{1}{5}$．…（6分）
（2）由题设知，X取值为1，2，3，4，
由（1）知，$P（X=1）=\frac{1}{5}$，
$P（X=2）=\frac{4}{5}×\frac{2}{5}=\frac{8}{25}$，
$P（X=3）=\frac{4}{5}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{36}{125}$，
$P（X=4）=1-\frac{1}{5}-\frac{8}{25}-\frac{36}{125}=\frac{24}{125}$，…（10分）
则X的分布列为：
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| P | $\frac{1}{5}$ | $\frac{8}{25}$ | $\frac{36}{125}$ | $\frac{24}{125}$ |
即王浩同学参加测试的次数X的数学期望为$\frac{309}{125}$．…（12分）
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．
练习册系列答案
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20．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+2，x≤0\\ lnx，x＞0\end{array}\right.$，若函数y=|f（x）|-m的零点个数是4个，则实数m的取值范围是（ ）
| A． | （0，2） | B． | （0，2] | C． | [0，2] | D． | （0，+∞） |