Question

已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜

π

2

）的图象过点（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x₀，2）和（x₀+π，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x1∈(0，

π

2

]，且cosx1=

1

3

，求f（x₁）的值．

Answer 1

分析：（1）依题意，可知A=2，

1

2

T=π，从而可求w，再由其图象过点（0，1），可求φ；
（2）由x₁∈（0，

π

2

]，cosx₁=

1

3

，可求得sinx₁=

2 2

3

，利用两角和的正弦即可求得f（x₁）的值．

解答：解：（1）依题意，知A=2，

1

2

T=π，故T=

2π

w

=2π，
∴w=1，
∴f（x）=2sin（x+φ），又由其图象过点（0，1），
∴f（0）=2sinφ=1，
∴sinφ=

1

2

，而|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．
∴f（x）=2sin（x+

π

6

）；
（2）∵x₁∈（0，

π

2

]，且cosx₁=

1

3

，
∴sinx₁=

2 2

3

，
∴f（x₁）=2sin（x₁+

π

6

）=2（sinx₁cos

π

6

+cosx₁sin

π

6

）
=2（

2 2

3

×

3

2

+

1

3

×

1

2

）
=

2 6 +1

3

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．