Question

抛物线y²=4x的焦点为F，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0）在抛物线上，且A，F，B共线，

|AB|

=

25

4

．
（1）求x₁+x₂的值；
（2）求直线AB的方程；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）抛物线y²=4x的准线方程为x=-1，由A，B，F三点共线，结合抛物线的定义，得|

AB

|=x₁+x₂+2=

25

4

．由此能求出x₁+x₂的值．
（2）设直线AB：y=k（x-1），而k=

y1-y2

x1-x2

＞0，由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-2（k²+2）x+k²=0．由经能求出直线AB的方程．
（3）由O到直线AB的距离是d=

|-4|

42+(-3)2

=

4

5

，能够得到△AOB的面积为

1

2

×

25

4

×

4

5

=

5

2

．

解答：解：（1）抛物线y²=4x的准线方程为x=-1．
∵A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得|

AB

|=x₁+x₂+2=

25

4

．
∴x₁+x₂=

25

4

-2=

17

4

．
（2）设直线AB：y=k（x-1），而k=

y1-y2

x1-x2

，x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0，∴k＞0，
由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-2（k²+2）x+k²=0．
∴

x1+x2= 2(k2+2) k2 x1x2=1

，|

AB

|=x1+x2 +2=

2(k2+2)

k2

+2=

25

4

．
∴k2=

16

9

．（8分）
从而k=

4

3

，故直线AB的方程为y=

4

3

(x-1)，即4x-3y-4=0．
（3）∵O到直线AB的距离是d=

|-4|

42+(-3)2

=

4

5

，
∴△AOB的面积为

1

2

×

25

4

×

4

5

=

5

2

．

点评：本题考查x₁+x₂的值，直线方程和三角形的面积，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．