Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F．
（1）若直线l过点M（4，0），且F到直线l的距离为2，求直线l的方程；
（2）设A，B为抛物线上两点，且AB不与X轴垂直，若线段AB中点的横坐标为2．求证：线段AB的垂直平分线恰过定点．

Answer 1

分析：（1）设直线l的方程为y=k（x-4），利用F到直线l的距离为2，即可求得直线的方程；
（2）设直线AB的方程代入抛物线方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为2，求得AB的垂直平分线方程，进而可得线段AB的垂直平分线恰过定点

解答：（1）解：由已知，抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），x=4不合题意，设直线l的方程为y=k（x-4）
∵F到直线l的距离为2，∴

|3k|

1+k2

=2，∴k=±

2 5

5

∴直线l的方程为y═±

2 5

5

（x-4）
（2）证明：设A，B的坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB不与x轴垂直，
∴设直线AB的方程为y=kx+b
代入抛物线方程，消元可得k²x²+（2bk-4）+b²=0
∴x₁+x₂=

4-2bk

k2

∵线段AB中点的横坐标为2
∴

4-2bk

k2

=4
∴b=

2-2k2

k

∵线段AB中点的坐标为（2，2k+b）
∴AB的垂直平分线方程为：y-（2k+b）=-

1

k

（x-2）
∵b=

2-2k2

k

∴方程可化为x+ky-4=0，显然过定点（4，0）
∴线段AB的垂直平分线恰过定点

点评：本题考查抛物线的性质，考查直线方程，考查直线恒过定点，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．