Question

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。
 （I）求曲线C的方程；
 （Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足
化简为y²=4x（x>0）；
（Ⅱ）设过点M（m，0）（m>0）的直线l与曲线C的交点为 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
设l的方程为
由
得
，于是    ①
又
   ②
又，于是不等式②等价于
      ③
由①式，不等式③等价于m²-6m+1<4t²， ④
对任意实数t，4t²的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于
即
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围是。