Question

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，E为AD的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥PB；
（Ⅱ）判断并说明PD上是否存在点G，使得EG∥平面PBC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据线面垂直的条件，只要证明BC⊥平面PDB，即可证明BC⊥PB；
（Ⅱ）假设PD上是否存在点G，根据EG∥平面PBC的性质定理，进行求解即可．．

解答：解：（Ⅰ） 如图连结BD，
∵侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，
∴PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵AB=AD=PD=1，CD=2，∠ADC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴BD=

2

，
又AB∥DC，
∴BC=

2

，则BC²+BD²=CD²，
即BD⊥BC，
∴BC⊥平面PDB，
∴BC⊥PB．
（Ⅱ）PD上存在点G，使得EG∥平面PBC．
过点E作EF∥BC交DC于F，
再过点F作FG∥PC交PD于G，连结EG，
易得DG=

1

4

PD．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．