Question

已知函数f（x）=x³+x，g(x)=

x2+ax+4

x

．
（1）若曲线y=f（x）的切线过点（1，2），求其切线方程；
（2）若对任意的x₁∈[1，3]，存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范围；
（3）若对任意的x₁，x₂∈[1，3]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³+x，知f'（x）=3x²+1．设切点为（x₀，x₀³+x₀），则其切线方程为：y-（x₀³+x₀）=（3x₀²+1）（x-x₀）．由切线过点（1，2），能求出切线方程．
（2）“对任意的x₁∈[1，3]，存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立”等价于f（x）_min≥g（x）_min．由此能求出a的取值范围．
（3）“对任意的x₁，x₂∈[1，3]都有f（x₁）≥g（x₂）成立”等价于f（x）_min≥g（x）_max．由此能求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+x，
∴f'（x）=3x²+1．
设切点为（x₀，x₀³+x₀），
则其切线方程为：y-（x₀³+x₀）=（3x₀²+1）（x-x₀）．
又切线过点（1，2），
∴（x₀-1）²（2x₀+1）=0，
∴x₀=1或x0=-

1

2

．
∴所求切线方程为：4x-y-2=0或7x-4y+1=0．
（2）“对任意的x₁∈[1，3]，存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立”
等价于f（x）_min≥g（x）_min，
∵f（x）=x³+x在[1，3]上是单调递增函数，
∴f（x）_min=f（1）=2．
g(x)=

x2+ax+4

x

=x+

4

x

+a在[1，2]上单调递减，
在[2，3]上单调递增，
∴g（x）_min=g（2）=4+a，
∴4+a≤2，
即a≤-2．
（3）“对任意的x₁，x₂∈[1，3]都有f（x₁）≥g（x₂）成立”
等价于f（x）_min≥g（x）_max．
而f（x）_min=f（1）=2，
g（x）_max=g（1）=5+a，
∴a≤-3．

点评：本题考查利用导数求闭区间上的最值，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．注意导数性质和切线方程的合理运用．易错点是“对任意的x₁，x₂∈[1，3]都有f（x₁）≥g（x₂）成立”等价于f（x）_min≥g（x）_max．