Question

【题目】已知 ，函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的取值范围；
（3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1，求 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得 ，
解得 ．
（2）解： ， ，
当 时， ，经检验，满足题意．
当 时， ，经检验，满足题意．
当 且 时， ， ， ．
是原方程的解当且仅当 ，即 ；
是原方程的解当且仅当 ，即 ．
于是满足题意的 ．
综上， 的取值范围为 ．
（3）解：当 时， ， ，
所以 在 上单调递减．
函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， ．
即 ，对任意
成立．
因为 ，所以函数 在区间 上单调递增， 时，
有最小值 ，由 ，得 ．
故 的取值范围为 ．
【解析】（1）当a=5时，解导数不等式即可．
（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．
（3）根据条件得到f（t）-f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的性质和复合函数单调性的判断方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”．