Question

【题目】已知f（x）=ax3﹣x2﹣x+b（a，b∈R，a≠0），g（x）= （e是自然对数的底数），f（x）的图象在x=﹣ 处的切线方程为y= ．
（1）求a，b的值；
（2）探究直线y= ．是否可以与函数g（x）的图象相切？若可以，写出切点的坐标，否则，说明理由；
（3）证明：当x∈（﹣∞，2]时，f（x）≤g（x）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3ax2﹣2x﹣1，

∵f（x）的图象在x=﹣ 处的切线方程是y= x+ ，

故f′（﹣ ）= ，即3a ﹣2（﹣ ）﹣1= ，解得：a=1；

故f（x）的图象过A（﹣ ， ），

故 ﹣ ﹣（﹣ ）+b= ，解得：b= ，

综上，a=1，b=

（2）解：设直线y= x+ 与函数g（x）的图象相切于A（x0，y0），

∵g′（x）= ex，∴过A点的直线的斜率是g′（x0）= ，

又直线y= x+ 的斜率是 ，故 = ，解得：x0=﹣ ，

将x0=﹣ 代入y= ex得点A的坐标是（﹣ ， ），

故切线方程为：y﹣ = （x+ ），化简得y= x+ ，

故直线y= x+ 可以与函数g（x）的图象相切，切点坐标是（﹣ ， ）

（3）证明：要证明：x∈（﹣∞，2]时，f（x）≤g（x），

只需证明x∈（﹣∞，2]时，f（x）≤ x+ ，

令k（x）= x+ ﹣f（x）=﹣x3+x2+ x+ ，

k′（x）=﹣3x2+2x+ ，令k′（x）=﹣3x2+2x+ =0，

解得：x=﹣ ，x= ，

故k（x）min=min{k（﹣ ），k（2）}，

∵k（﹣ ）=0，k（2）=0，故k（x）min=0，

故x∈（﹣∞，2]，f（x）≤ x+ 成立，

x∈（﹣∞，2]，令h（x）=g（x）﹣（ x+ ）= ex﹣ x﹣ ，

h′（x）= ex﹣ ，令h′（x）=0，x=﹣ ，

x∈（﹣∞，﹣ ）时，h′（x）＜0，当x∈（﹣ ，2]时，h′（x）＞0，

故h（x）≥h（﹣ ）=0，即x∈（﹣∞，2]时，g（x）≥ x+ ，

由不等式的性质的传递性得：x∈（﹣∞，2]时，f（x）≤g（x）

【解析】（1）求出函数的导数，根据切线方程求出a的值，求出A的坐标，得到关于b的方程，解出即可；（2）设出切点A，根据切线方程求出A的坐标，从而求出切线方程，整理即可；（3）问题转化为x∈（﹣∞，2]时，f（x）≤ x+ ，令k（x）= x+ ﹣f（x）=﹣x3+x2+ x+ ，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．