Question

已知圆O的半径为2，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，设∠APO=α．那么2S_△PAB•cot2α的最小值为（　　）

• A．-16+4

  2

• B．-12+4

  2

• C．-16+8

  2

• D．-12+8

  2

Answer 1

分析：由题意画出图形，求出PA，PO，A到PO的距离为AC，PC，求出S_△PAB．得到2S_△PAB•cot2α，化简利用基本不等式求出最小值．

解答：解：由题意PA=

2

tanα

，PO=

2

sinα

A到PO的距离为AC=2cosα，PC=

2

tanα

•cosα
所以S_△PAB=2×

1

2

PC•AC=

2

tanα

•2cosα•cosα．
2S_△PAB•cot2α=

4

tanα

•2cosα•cosα•cot2α
=

4cos2α•(1-2sin2α)

sin2α

=

4(1-sin2α)(1-2sin2α)

sin2α

=

4

sin2α

-12+8sin2α≥-12+8

2

，当且仅当sin4α=

1

2

时，取等号．
故选D．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，三角形的面积的求法，三角函数的化简以及基本不等式的应用，考查计算能力．