Question

已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．
解答：由球的体积公式，得πR³=，
∴R=1．
∴正三棱柱的高h=2R=2．
设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：•a=1，
∴a=2．
∴该正三棱柱的表面积为：3a•2R+2×=18．
故选C．
点评：本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．