Question

已知点P是△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于F，
（1）求证：平面PBC⊥平面PAB．
（2）求证：PC⊥平面AEF．

Answer 1

分析：（1）证平面PBC⊥平面PAB，只需证平面PBC内的BC⊥平面PAB，即证PA⊥BC，AB⊥BC即可，由PA⊥平面ABC，且∠ABC=90°可得；
（2）证PC⊥平面AEF，只需证AF⊥PC，且AE⊥PC即可，这由已知条件和平面PBC⊥平面PAB可得．

解答：证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC；
又AB⊥BC，PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，而BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB．
（2）∵平面PBC⊥平面PAB，且AE?平面PAB，平面PAB∩平面PBC=PB，
∵AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，
又PC?平面PBC，∴AE⊥PC；
由已知AF⊥PC，且AE∩AF=A，AE?平面AEF，AF?平面AEF，
∴PC⊥平面AEF．

点评：本题考查了空间中的直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定与性质，是中档题目．