Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B₁A，C₁CBC的中点．
（I）求证：DE∥平面ABC；
（II）平面AEF⊥平面BCC₁B₁；求三棱锥A-BCB₁的体积．

Answer 1

分析：（1）欲证DE∥平面ABC，根据线面平行的判定定理可知，证线线平行，取AB中点G，连DG，CG，只需证DE∥GC即可；
（2）欲证平面AEF⊥平面BCC₁B₁，根据面面垂直的判定定理可知，证AF⊥平面BCC₁B₁即可，然后再根据体积公式求出三棱锥A-BCB₁的体积．

解答：解：（I）取AB中点G，连DG，CG
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，
∴BCC₁B₁是矩形．
∵D，E分别为AB₁，CC₁的中点，
∴DG

∥ .

.

1

2

BB1，CE

∥ .

.

1

2

BB1，
∴DG

∥ .

.

CE，DGCE是平行四边形，∴DE∥GC．（4分）
∵GC?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．（5分）

（II）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，
∴AF⊥CC₁∵AB=AC，F为BC中点，∴AF⊥BC
又BC∩CC₁=C∴AF⊥平面BCC₁B₁，（9分）又AF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面BCC₁B₁（10分）
AF⊥平面BCC₁B₁，
在由已知，RT△ABC中，AB=AC=2，
∴BC=2

2

，AF=

1

2

BC=

2

，S△BCB1=

1

2

BC•BB1=2

2

∴VA-BCB1=

1

3

S△BCB1•AF=

4

3

（14分）

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及线面关系和几何体的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．