Question

已知(x＋1)ⁿ＝a₀＋a₁(x－1)＋a₂(x－1)²＋a₃(x－1)³＋…＋a_n(x－1)ⁿ，(其中n∈N^*)

(1)求a₀及S_n＝a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n；

(2)试比较S_n与(n－2)2ⁿ＋2n²的大小，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)取，则；取，则， 　　∴　　4分 　　(2)要比较与的大小，即比较：与的大小， 　　当时，； 　　当时，； 　　当时，　　5分 　　猜想：当时，，下面用数学归纳法证明： 　　由上述过程可知，时结论成立， 　　假设当时结论成立，即， 　　两边同乘以3得： 　　而 　　∴ 　　即时结论也成立， 　　∴当时，成立　　9分 　　综上得， 　　当时，； 　　当时，； 　　当时，　　10分