Question

已知函数f（x）=（x²-2x+a）•e^x，函数f（x）图象在（0，f（0））处切线的斜率为-1；
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的导函数，由函数f（x）图象在（0，f（0））处切线的斜率为-1，得f′（0）=-1，由此式可求a的值；
（2）直接利用导函数小于0和导函数大于0求解函数的单调区间，然后根据极值的定义进行判定极值即可．

解答：解：（1）由函数f（x）=（x²-2x+a）•e^x，得f′（x）=（x²+a-2）e^x．
∵函数f（x）图象在（0，f（0））处切线的斜率为-1，
∴f′（0）=a-2=-1⇒a=1；
（2）由f′（x）=（x²-1）e^x＜0，得-1＜x＜1．
由f′（x）=（x²-1）e^x＞0，得x＜-1或x＞1．
∴f（x）的单调增区间为（-∞，1），（1，+∞），单调减区间为（-1，1），
∴f（x）_极大=f（-1）=4e^-1，f（x）_极小=f（1）=0．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间，是中档题．