Question

函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.

（1）若在上存在极值，求实数的取值范围；

（2）求证：当时，.

Answer 1

【解析】（1）；（2）见解析 

解析：（1）∵

   由已知  ∴   得             ………2分

  ∴

  当为增函数；

  当时，，为减函数。

 ∴是函数的极大值点                              ………4分

 又在上存在极值  

∴    即 

  故实数的取值范围是                               ………5分

（2）  

 即为                       ………6分

   令 

   则

   再令   则

   ∵   ∴   ∴ 在上是增函数

   ∴   ∴

   ∴在上是增函数 

 ∴时，   故            ………9分

令

则

∵   ∴  ∴  即上是减函数

∴时，                         ………11分

所以，  即          ………12分

【思路点拨】(1)先求导得，利用单调性判断出是函数的极大值点，所以有，解不等式组即可；（2）先转化为， 令，再求导结合单调性证明。