题目内容

已知a，b，c都是正实数，且满足log₄（16a+b）= $数学公式$ ，则使4a+b≥c恒成立的c的取值范围是________．

（0，36]
分析：由log₄（16a+b）= $\text{[math]}$ ，知16a+b=ab，a= $\text{[math]}$ ．所以4a+b= $\text{[math]}$ =4+ $\text{[math]}$ +（b-16）+16≥20+ $\text{[math]}$ =36．所以，使4a+b≥c恒成立，c只要小于4a+b的最小值即可．
解答：∵log₄（16a+b）= $\text{[math]}$ ，
∴16a+b=ab，a= $\text{[math]}$ ．
∴4a+b= $\text{[math]}$
=4+ $\text{[math]}$ +b
=4+ $\text{[math]}$ +（b-16）+16
≥20+ $\text{[math]}$
=36，
当且仅当 $\text{[math]}$ ，
即b=24时成立．
所以，使4a+b≥c恒成立，
c只要小于4a+b的最小值即可，又由c为正实数，
则c∈（0，36]．
故答案为：（0，36]．
点评：本题考查对数的运算性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值不等式的灵活运用．易错点是忽视均值定理成立的条件．