题目内容

已知向量
m
=（sinA，sinB），
n
=（cosB，cosA），
m
•
n
=sin2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且
CA
•
CB
=18，求c边的长．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得
m
•
n
=sin(A+B)，再由已知
m
•
n
=sin2C，可得sin2C=sinC，cosC=
1
2
从而求得C的值．
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，由条件利用正弦定理、余弦定理求得c边的长．
解答：解：（1）由于
m
•
n
=sinA•cosB+sinB•cosA=sin(A+B)，…（2分）
对于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC，∴
m
•
n
=sinC．…（3分）
又∵
m
•
n
=sin2C，∴sin2C=sinC，cosC=
1
2
，C=
π
3
．…（6分）
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，
由正弦定理得2c=a+b．…（8分）∵
CA
•
CB
=18，即abcosC=18，ab=36．…（10分）
由余弦弦定理c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，…（11分）
∴c2=4c2-3×36，c2=36，∴c=6．…（12分）
点评：本题主要考查等差数列的性质，查两个向量的数量积公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=（sinθ，2cosθ），
n
=（
3
，-
1
2
）
（Ⅰ）当θ∈[0，π]时，求函数f（θ）=
m
×
n
的值域；
（Ⅱ）若
m
∥
n
，求sin2θ的值．
已知向量
m
=（sin（A-B），sin(
π
2
-A)），
n
=（1，2sinB），且
m
•
n
=-sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA+sinB=
3
2
sinC，且S△ABC=
3
，求边c的长．
已知向量m=（sinωx，cosωx），n=（cosωx，
3
cosωx）且0＜ω＜2，函数f（x）=m•n，且f（
π
3
）=
3
2
．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=g（x）的图象向右平移
π
3
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
4
，得到函数y=f（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其在[-
π
3
，
π
3
]上的值域．
已知向量
m
=（sinωx，1），
n
=（
3
Acosωx，
A
2
cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函数f（x）=
m
•
n
的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移
π
6
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
（2）求函数g（x）在[
π
4
，
π
2
]上的值域．
已知向量m=(cosθ,sinθ),n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos(+)的值.

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