Question

在△ABC中，角A满足条件

3

sinA+cosA=1，AB=2cm，BC=2

3

cm，则△ABC的面积等于

3

cm²．

Answer 1

分析：由条件求得sin（A+

π

6

）=

1

2

，可得A=

2π

3

．再由余弦定理求得AC的值，再根据△ABC的面积等于

1

2

AB•AC•sinA，运算求得结果．

解答：解：∵在△ABC中，角A满足条件

3

sinA+cosA=1，∴sin（A+

π

6

）=

1

2

，∴A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

2π

3

．
再由余弦定理可得 BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA，即12=4+AC²-2×2AC×cos

2π

3

，解得AC=2（cm），或AC=-4（舍去），
故△ABC的面积等于

1

2

AB•AC•sin

2π

3

=

3

 （cm²），
故答案为

3

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦定理的应用，属于中档题．