题目内容

设O为坐标原点，F₁，F₂是椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的焦点，若在椭圆上存在点P，满足∠F₁PF₂=60°，|OP|= $数学公式$ ，则该椭圆的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：要求椭圆的离心率，即要求a，c的关系，首先由定义和余弦定理得到一个关系，再由中线长公式得到一个关系，联立可得．
解答：设|PF₁|=x，|PF₂|=y，则x+y=2a；①
由余弦定理 cos∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∴x²+y²-xy=4c²；②
∵中线长公式 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
故OP²= $\text{[math]}$ （PF₁²+PF₂²+2 $\text{[math]}$ ）
? $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x²+y²+2xycos∠F₁PF₂）?x²+y²=3a²-xy；③
∴①②③联立代换掉x，y得：a²=4c²；
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选：A．
点评：本题主要考查椭圆的定义，余弦定理及中线长公式，体现了在解题中要灵活运用转化知识．

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