题目内容

12.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx,0<x≤e}\\{a(x+e),x>e}\end{array}\right.$是(0,+∞)上的减函数,且对任意m∈(0,e],n∈(e,+∞)有f($\frac{m+n}{2}$)$<\frac{1}{2}$[f(m)+f(n)],那么实数a的取值范围是(  )
A.a<-$\frac{1}{e}$B.a$≤-\frac{1}{2e}$C.-1≤a<0D.-$\frac{1}{e}$<a≤-$\frac{1}{2e}$

分析 由分段函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx,0<x≤e}\\{a(x+e),x>e}\end{array}\right.$是(0,+∞)上的减函数知$\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{a(e+e)≤-lne}\end{array}\right.$,从而解得可排除C,再令a=-1,从而代入可排除A,B;从而确定答案.

解答 解:∵函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx,0<x≤e}\\{a(x+e),x>e}\end{array}\right.$是(0,+∞)上的减函数,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{a(e+e)≤-lne}\end{array}\right.$,
解得,a≤-$\frac{1}{2e}$;
故排除C;
当a=-1时,
函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx,0<x≤e}\\{a(x+e),x>e}\end{array}\right.$的图象如右图,
对任意m∈(0,e],n∈(e,+∞)有f($\frac{m+n}{2}$)$<\frac{1}{2}$[f(m)+f(n)]不能成立,
故排除A,B;
故选D.

点评 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用,同时考查了排除法的应用,属于中档题.

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