题目内容

在数列{an}中，a1=
1
3
，设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=n（2n-1）an，则Sn=
n
2n+1
n
2n+1
．
分析：先利用Sn=n（2n-1）an，得到Sn-1=（n-1）（2n-3）an-1，进而得到数列的递推关系式，最后结合叠乘法求出数列的通项，进而求出结论．
解答：解：∵Sn=n（2n-1）an，①
∴Sn-1=（n-1）（2n-3）an-1，②
∴①-②⇒an=n（2n-1）an-（n-1）（2n-3）an-1⇒（2n+1）an=（2n-3）an-1⇒
an
an-1
=
2n-3
2n+1
；
∴
a2
a1
=
1
5
，
a3
a2
=
3
7
，
a4
a3
=
5
9
，…
an-1
an-2
=
2n-5
2n-1
，
an
an-1
=
2n-3
2n+1
；
∴上面各式相乘可得
an
a1
=
1×3
(2n-1)(2n+1)

∴an=
1
3
×
3
(2n-1)(2n+1)
=
1
(2n-1)(2n+1)

∴Sn=n（2n-1）an=
n
2n+1

故答案为：
n
2n+1
点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式．本题解决的关键在于由Sn=n（2n-1）an，得到Sn-1=（n-1）（2n-3）an-1，进而得到数列的递推关系式．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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