Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于M，N两点．已知椭圆的短轴长为，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当直线MN的斜率为时，求的值；

（3）若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P(t，0)，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）．

【解析】

（1）设焦距2c，由题得到关于的方程组，解方程组即得解；

（2）先求出点的坐标，再利用两点间的距离公式得解；

（3）先讨论当直线MN斜率不存在时，；再讨论直线斜率存在的情况,联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再根据得到，解不等式组综合即得解.

解：（1）设焦距2c，，，

故椭圆的标准方程为：；

（2）由（1）知，c＝2，则F2(2，0)

或

即，或，

因此，；

（3）当直线MN斜率不存在时，MN：x＝2，＝，

以MN为直径的圆方程为：,

其与x轴相交的右交点为(，0)，即；

当MN的斜率存在时，设MN：，M(，)，N(，)

所以，

，，

则，

因为P在以MN为直径的圆上，则，

所以

所以

所以

所以，

因为，

所以.

∵P是右交点，故t＞2，

因此，

解得．

综合得.