Question

已知：二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f'（0）=2n（n∈N^*）．
（1）求：f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足=f'（），且a₁=4，求：数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（2）中的数列{a_n}，求证：①＜5；②≤＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出其导函数，结合已知条件列出关于a，b的方程，求出a，b，即可得到f（x）的解析式；
（2）先根据=f'（）得到，再由叠加法即可求：数列{a_n}的通项公式；
（3）①根据＜，再代入即可得到证明；
②先根据=-可得左边成立；再对的和进行放缩即可得到右边．
解答：解：（1）由f′（x）=2ax+b，∴ 解得，即f（x）=x²+2nx；
（2）∵，
∴，由叠加得=n²-n，
∴a_n=；
（3）①
＜  （k≥2）
当n≥2时，4+[（1-）+（-）+…+（）]=5-＜5．
②∵=-＞0，
∴==，
=+…+=2-＜2，
即≤＜2．
点评：本题主要考查数列和函数的综合以及不等式的证明．在证明不等式涉及到范围问题时，一般采用放缩法．