Question

如图，已知△OFQ的面积为S,且·=1.

(1)若＜S＜2,求向量与的夹角θ的取值范围;

(2)设||=c(c≥2),S=c,若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，当||取最小值时，求椭圆的方程.

Answer 1

解：(1)由已知，得

   

    ∴tanθ=2S.

    ∵＜S＜2,

    ∴1＜tanθ＜4.

    则＜θ＜arctan4.

(2)以O为原点，在直线为x轴建立平面直角坐标系.

设椭圆方程为+=1(a＞b＞0),Q(x,y).

    =(c,0),则=(x-c,y).

    ∵||·y=c,

    ∴y=.

    又∵·=c(x-c)=1,

    ∴x=c+.

    则||==(c≥2).

    可以证明：当c≥2时，函数t=c+为增函数，∴当c=2时，

    ||_min==,

    此时Q(,).

    将Q的坐标代入椭圆方程，得

    解得

    ∴椭圆方程为+=1.