Question

（07年辽宁卷）（12分）

如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．

（I）证明：；

（II）求的长，并求点到平面的距离．

Answer 1

本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力．

解析：（I）证明：连结，

三棱柱是直三棱柱，

平面，

为在平面内的射影．

中，，为中点，

，

．

，

．

（II）解法一：过点作的平行线，

交的延长线于，连结．分别为的中点，

．又，．．

平面，为在平面内的射影．

．为二面角的平面角，．

在中，，，．

作，垂足为，

，，平面，

平面平面，平面．

在中，，，

，即到平面的距离为．

，平面，

到平面的距离与到平面的距离相等，为．

解法二：过点作的平行线，交的延长线于，连接．

分别为的中点，

．

又，

．

平面，

是在平面内的射影，

．

为二面角的平面角，．

在中，，，

．

设到平面的距离为，

．

，，

，

，

，即到平面的距离为．