Question

已知函数f（x）满足：对任意的实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0．
（1）证明：函数f（x）在R上单调递增；
（2）若f(3m)＜f(3

3

)，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数单调性的定义，作差，利用所给恒等式进行变形，判断f（x₁）与f（x₂）的大小，进而证明出f（x）的单调性；
（2）根据函数的单调性，去掉“f”，列出关于m的不等式，解之即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上单调递增． 
（2）由（1）知，函数f（x）在R上单调递增，
∵f(3m)＜f(3

3

)，
∴3m＜3

3

，即3m＜3

3

2

，解得m＜

3

2

，
∴实数m的取值范围为(-∞，

3

2

)．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，同时考查了利用定义证明函数的单调性以及应用单调性解不等式．对于定义法证明函数的单调性，关键是判断出作差的正负，本题的关键就是如何构造作差，使得其能判断符号．属于中档题．