题目内容
已知点的序列An（xn，0），n∈N，其中，x1=0，x2=a（a＞0），A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，……（Ⅰ）写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式（n≥3）；
（Ⅱ）设an=xn＋1－xn计算a1，a2，a3，由此推测数列｛an｝的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）求
xn．
答案：
解析：
解析：
（Ⅰ）解：当n≥3时，xn= ．
（Ⅱ）解：a1=x2－x1=a，a2=x3－x2=
由此推测an=（ 用数学归纳法证明. （ⅰ）当n=1时，a1=x2－x1=a=（ （ⅱ）假设当n=k时，公式成立，即ak=（ 那么当n=k＋1时，
根据（ⅰ）与（ⅱ）可知，对任意n∈N，公式an=（ （Ⅲ）解：当n≥3时，有xn=（xn－xn－1）＋（xn－1－xn－2）＋…＋（x2－x1）＋x1 =an－1＋an－2＋…＋a1， 由（Ⅱ）知｛an｝是公比为
|
）n－1a（n∈N*）.
）0a，公式成立．
）k－1a成立.
，公式仍成立．
）n－1a成立．
的等比数列，∴
．
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xn
的中点，……
、x
之间的关系式(n≥3)；
xn.
xn.