Question

【题目】已知函数.

（1）求证：存在定点，使得函数图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上，并求出点的坐标；

（2）定义，其中且，求；

（3）对于（2）中的，求证：对于任意都有.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题中已知条件可知函数f（x）上的点P和点Q关于点M对称，可根据f（x）+f（2a﹣x）=2b可以求出a和b的值，进而可以证明．

（Ⅱ）根据题中已知条件借助倒序相加法求出Sn的表达式，进而将n=2016代入即可求出S2016的值．

试题解析：

（1）显然函数定义域为，设点的坐标为，

则

对于恒成立，于是解得

所以存在定点，使得函数在图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上.

（2）由（1）得， （i）

（ii）

（i）+（ii），得， ，故.

（3）当时，由（2）知，

于是等价于 .

令，则，

当时， ，即函数在上单调递增，又.

于是，当时，恒有，即恒成立.

故当时，有成立，取，

则由成立.