题目内容

已知函数f（x）=ln（1+x）-x。
（1）求f（x）的单调区间；
（2）记f（x）在区间[0，π]（n∈N*）上的最小值为bn，令an=ln（l+n）-bn。
（i）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；
（ii）求证：。
解：（1）因为
所以函数定义域为（-1，+）
且
由得-1＜x＜0，f（x）的单调递增区间为（-1，0）
由得x>0，f（x）的单调递增区间为（0，+）。
（2）因为f（x）在[0，n]上是减函数，
所以
则an=ln（1+n）-bn=ln（1+n）-ln（1+n）+n=n
（i）
＞
又lim
因此c<1，即实数c的取值范围是（-，1）；
（ii）由（i）知
因为[]2=
所以＜（n∈N*）
则＜
即（n∈N*）。
练习册系列答案
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已知函数f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
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已知函数f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数f（x）图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x0=
x1+x2
2
时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn，则S2012的值为（　　）
已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．
已知函数f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，
6
）上单调递减，在（
6
，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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