题目内容

函数f（x）定义域为R，x、y∈R时恒有f（xy）=f（x）+f（y），若f（
7
+
2
）+f（
7
-
2
）=2，则f（
1
26
+1
)+f(
1
26
-1
）=
-4
-4
．
分析：由已知中x、y∈R时恒有f（xy）=f（x）+f（y），可由f（
7
+
2
）+f（
7
-
2
）=2，得到f（5）=2，进而求出f（
1
5
）=-2，进而得到答案．
解答：解：∵x、y∈R时恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，有f（1）=0，
∵f（
7
+
2
）+f（
7
-
2
）=f[（
7
+
2
）•（
7
-
2
）]=f（5）=2
取x=5，y=
1
5
，得f（1）=f（5•
1
5
）=f（5）+f（
1
5
），
∴f（
1
5
）=-f（5）=-2
∴f（
1
26
+1
）+f（
1
26
-1
）=f（
1
26
+1
•
1
26
-1
）=f（
1
25
）=f（
1
5
•
1
5
）=2f（
1
5
）=-4
故答案为：-4
点评：本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的值，其中抽象函数解答时，要注意根据已知和未知“凑”出变形方向．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）定义域为R+，且满足条件f（x）=f（
1x
）•lgx+1，求f（x）的表达式．
已知函数f（x）定义域为实数R，对任意的实数x、y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），又当x＞0时，f（x）＜0且f（2）=-1．
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）判断f（x）在R上的单调性．
（3）求f（x）在[-6，6]的最值．
已知函数f（x）定义域为（0，+∞），且满足2f（x）+f（
1
x
）=(2x-
1
x
)lnx．
（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；
（Ⅱ）求证：?x∈（0，+∞），
x+1
ex
＜1．
（Ⅲ）设g（x）=
x+f(x)
xex
，h（x）=（x2+x）g′（x）．求证：：?x∈（0，+∞），h（x）＜
4
3
．
已知函数f（x）定义域为R，ab∈R总有
f(a)-f(b)a-b
＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是
m＜1
m＜1
．
若函数f（x）定义域为R，且图象关于原点对称．当x＞0时，f（x）=x3-2．则函数f（x+2）的所有零点之和为
-6
-6
．

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