Question

如图，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁上.

（1）求证：A₁E⊥BD；

（2）若E为棱CC₁的中点，求证：AC₁∥平面BED；

（3）当的值为多少时，二面角A₁-BD-E为直二面角？请给出证明.

Answer 1

解法一:（1）证明：连结AC交BD于O，                                                        ?

∵点E 在棱CC₁上，?

∴AC为A₁E在底面ABCD内的射影.?

在正方形ABCD中，AC⊥BD，?

由三垂线定理得A₁E⊥BD.                                                                                      ?

（2）方法一：证明：连结OE，                                                                                 ?

∵E为棱CC₁的中点，?

又∵在正方形ABCD中，O是AC中点，?

∴OE∥AC₁.                                                                                                            ?

又∵OE平面BED，AC₁ 平面BED，?

∴AC₁∥平面BED.                                                                                                         ?

方法二：证明：∵=++??

=++2??

=（+）+(+)?

=+，                                                                                                                ?

且与不共线，∴与、共面.?

又∵AC₁平面BED，∴AC₁∥平面BED.                                                                      ?

（3）当=时，二面角A₁-BD-E为直二面角.                                                        ?

证明：∵在正方形ABCD中，O是BD的中点，?

∴在等边△A₁BD中，A₁O⊥BD.又∵△BCE≌△DCE，∴BE=DE.?

∴OE⊥BD.?

∴∠A₁OE为二面角A₁-BD-E的平面角.                                                                   ?

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，设棱长为2a，?

∵=，?

∴E为棱CC₁的中点,由平面几何知识得?

EO=a,A₁O=a,A₁E=3a.?

方法一：∴cos∠A₁OE=

?

==0.?

∴∠A₁OE=90°.?

故二面角A₁-BD-E为直二面角.                                                                               ?

方法二：∵AE²=A₁O²+EO²,∴∠A₁OE=90°.?

故二面角A₁-BD-E为直二面角.                                                                              

方法三：当=时，二面角A₁-BD-E为直二面角.                                            ?

证明：∵=,∴E为CC₁的中点.?

∴由(2)得OE∥AC₁.?

∵C₁C⊥底面ABCD,则AC是A₁C在底面ABCD内的射影,?

∵AC⊥BD,∴AC₁⊥BD.?

同理可证AC₁⊥A₁B,又BD∩A₁B=B,?

∴AC₁⊥平面A₁BD.                                                                                                       ?

∴OE⊥平面A₁BD.?

又∵OE平面BED,?

∴平面A₁BD⊥平面BED,故二面角A₁-BD-E为直二面角.                                               ?

解法二:如图所示建立空间直角坐标系A—xyz,设AD=2a,?

（1） B(2a,0,0),D(0,2a,0),A₁(0,0,2a),?

设E（2a,2a,λ）(λ∈R).?

∴=（2a,2a,λ-2a）,=(-2a,2a,0),

∴·?=2 a·(-2a)+2a·2a+(λ-2a)·0=0.?

∴⊥, 故A₁E⊥BD.                                                                                  

?

（2）方法一：连结AC交BD于O.?

∵O为AC中点，∴O（a,a,0）.?

 又E为CC₁中点，∴E（2a,2a,a）.?

∴=(2a,2a,2a), =(a,a,a).?

∴=2.∴∥.                                                                                 ?

又∵AC₁与OE不共线，?

∴AC₁∥OE.?

又∵OE平面BED，AC₁平面BED，?

∴AC₁∥平面BED.                                                                                                         ?

方法二：=（0,2a,a）,=(2a,0,a),?

=(2a,2a,2a).                                                                                             ?

假设存在实数x、y，使=x+y，?

则解得∴=+.?

又∵与不共线,

∴与、共面.                                                                                       ?

又∵AC₁平面BED，

∴AC₁∥平面BED.                                                                                                         ?

（3）方法一：连结AC交BD于O，连结OA₁,OE,?

在等边 △A₁BD中，A₁O⊥BD，?

又∵△BCE≌△DCE,∴BE=DE.?

∴OE⊥BD.?

∴∠A₁OE为二面角A₁-BD-E的平面角.                                                                   ?

欲使二面角A₁BDE为直二面角,只要⊥，?

即·=0.?

依题意可设E（2a,2a，λ）（λ∈R），则?

=(a,a,λ)，而=(-a,-a,2a),?

∴a·（-a）+a·（-a）+2aλ=0，解得λ=a.∴CE=a.?

故当=时，二面角A₁-BD-E为直二面角.                                                      ?

方法二：=（-2a，2a，0），=（0，2a，a），=（-2a，0，2a），?

设平面A₁BD的法向量为n=(x,y,z),?

由n·=0及n·=0，得取x=1,y=z=1,则n=(1,1,1).                   ?

依题意可设E=（2a,2a,λ）(λ∈R)，?

则=（0，2a,λ）,而=（-2a,2a,0）,?

设平面BED的法向量为M=（x，y，z），

由M·=0及M·=0，得?取y=1,则x=1，z=-,?

∴M=(1,1,-).                                                                                                     ?

欲使二面角A₁-BD-E为直二面角，只要M⊥n,?

即M·n=0.∴(1,1,-)·(1,1,0)=0.?

∴1+1-=0，解得λ＝a.故当=时，二面角A₁-BD-E为直二面角.